Fungsi : Kuadrat, Rasional, dan Irasional

X MIPA 2

Hana Krissintadewi

(12)

Pada blog kali ini, saya akan membahas tentang fungsi kuadrat, rasional, dan irasional. Silahkan disimak dengan seksama.

A. Pengertian Fungsi Kuadrat dan Penyelesaiannya

Kita mulai dengan pengertian fungsi kuadrat, yaitu sebuah fungsi polinom yang memiliki peubah/variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2 (dua).

Secara umum fungsi kuadrat memiliki bentuk umum seperti berikut ini:

f(x) = ax² + bx + c

dengan f(x) = y yang merupakan variabel terikat, x adalah variabel bebas, sedangkan a, dan b merupakan koefisien dan c adalah suatu konstanta.

Hal ini tentunya berbeda dengan yang dinamakan persamaan kuadrat, yang mana persamaan kuadrat memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah dua dan berbentuk persamaan.

Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

dengan x adalah variabel bebas, a dan b adalah koefisien, serta c adalah konstanta.

Kembali ke materi fungsi kuadrat. Suatu fungsi sangat erat hubungannya dengan grafik fungsi.

Begitu pula fungsi kuadrat, yang memiliki grafik fungsinya sendiri. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola yang dapat digambarkan menggunakan langkah-langkah tertentu.

JENIS JENIS FUNGSI KUADRAT

Sebelum kita membahas cara menggambar grafik fungsi kuadrat, akan kita bahas terlebih dahulu mengenai jenis-jenis lain dari fungsi kuadrat seperti di bawah ini:

1. Jika pada y = ax2 + bx + c nilai b dan c adalah 0, maka fungsi kuadrat menjadi:

y = ax2

yang membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki nilai puncak di titik (0,0)

2. Jika pada y = ax2 + bx + c nilai b bernilai 0, maka fungsi kuadrat akan berbentuk:

y = ax2 + c

yang membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki titik puncak di (0,c)

3. Jika titik puncak ada di titik (h,k), maka fungsi kuadrat menjadi:

y = a(x – h)2 + k

dengan hubungan a, b, dan c dengan h, k adalah sebagai berikut:

Setelah kita memahami jenis-jenis fungsi kuadrat yang lain, selanjutnya kita akan membahas cara melukis sebuah grafik fungsi kuadrat. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Menentukan sumbu simetri: x = – b/2a 
2. Menentukan titik potong kurva dengan sumbu x: misalkan y = 0, maka ax2 + bx + c = 0
3. Menentukan titik potong dengan sumbu y: misalkan x = 0, maka y = c
4. Menentukan titik puncak: 

Selain itu, terdapat ciri khusus dari grafik parabola dilihat dari fungsinya. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas jika sebaliknya maka parabola terbuka ke bawah.

Kemudian pada fungsi kuadrat terdapat istilah diskriminan yang memiliki bentuk:

D = b2 – 4ac

Keterangan

• Jika D > 0 maka fungsi kuadrat memiliki 2 akar yang berbeda dan memotong di dua titik.
• Jika D = 0 maka fungsi kuadrat memiliki 2 akar yang sama, sehingga kurva hanya akan menyinggung sumbu x di satu titik.
• Jika D < 0 maka kurva tidak menyentuh sumbu x sama sekali.

Grafik Fungsi Kuadrat

Dari ciri khusus yang dijelaskan di atas, berikut di bawah ini merupakan bentuk-bentuk grafik fungsi kuadrat secara umum beserta sedikit penjelasannya:

Contoh Soal Fungsi Kuadrat

Tentukan nilai maksimum dari fungsi y = x2 – x – 6.

Pembahasan

Nilai maksimum dari suatu fungsi kuadrat adalah

Jadi, ypuncak = – 23/4

B. Pengertian Fungsi Rasional dan Penyelesaiannya

Fungsi rasional memiliki bentuk umum 

dengan p dan d adalah polinomial (suku banyak) dan d(x) bukan 0. Domain V(x) merupakan bilangan real kecuali pembuat nol dari d.

Adapun fungsi rasional yang paling sederhana yaitu fungsi y = 1/x, atau disebut juga fungsi kebalikan karena akan diambil sembarang x (kecuali nol) sehingga menghasilkan kebalikan sebagai nilai fungsinya. Yang artinya, jika nilai x besar maka akan menghasilkan fungsi yang kecil, dan sebaliknya.

Tabel dan grafik di atas memunculkan beberapa hal yang menarik. 

Pertama, grafik tersebut lolos uji garis vertikal, artinya, setiap garis vertikal pada bidang koordinat Cartesius memotong grafik pada maksimal satu titik. Sehingga, y = 1/x merupakan suatu fungsi. 

Kedua, karena pembagian tidak terdefinisi ketika pembaginya nol, maka nol tidak memiliki pasangan, yang menghasilkan jeda pada x = 0. Hal ini sesuai dengan domain dari fungsi tersebut, yaitu semua xanggota bilangan real kecuali 0. 

Ketiga, fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil, dengan salah satu cabangnya berada di kuadran I sedangkan yang lainnya berada di kuadran III. Dan yang terakhir, pada kuadran I, ketika xmenuju tak hingga, nilai y menuju dan mendekati nilai nol. Secara simbolis dapat ditulis sebagaix → ∞, y → 0. Secara grafis, kurva dari grafik fungsi tersebut akan mendekati sumbu-xketika x mendekati tak hingga.

Selain itu kita juga dapat mengamati bahwa ketika x mendekati nol dari kanan maka nilaiy akan mendekati bilangan real positif yang sangat besar (positif tak hingga): x → 0+, y → ∞. Sebagai catatan, tanda + atau – yang terletak di atas mengindikasikan arah dari pendekatan, yaitu dari sisi positif (+) atau dari sisi negatif (–).

Contoh 1: Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Untuk y = 1/x dalam kuadran III,

1. Deskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut.
2. Deskripsikan apa yang terjadi ketika x mendekati nol.

Pembahasan Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, kita mendapatkan
1. Ketika x mendekati negatif tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Apabila disimbolkan x → –∞, y → 0.
2. Ketika x mendekati nol dari kiri, nilai y akan mendekati negatif tak hingga. Pernyataan tersebut juga dapat dituliskan dengan x → 0–, y → –∞.

Fungsi y = 1/x²

Dari pembahasan sebelumnya, kita dapat menduga bahwa grafik dari fungsi ini akan jeda ketika x = 0. Akan tetapi karena kuadrat dari sembarang bilangan negatif adalah bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan berada di atas sumbu-x. Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² merupakan fungsi genap.

Serupa dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga, menghasilkan y yang mendekati nol: x → ∞, y → 0. Hal ini merupakan salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal, dan kita mengatakan y = 0 merupakan asimtot horizontal dari fungsi y = 1/x dan y = 1/x². Secara umum,

Asimtot Horizontal

"Diberikan suatu konstanta k, garis y = k merupakan asimtot horizontal dari fungsi V(x) jika x bertambah tanpa batas, menyebabkan V(x) mendekati k: x → –∞, V(x) → k atau x → ∞, V(x) → k."

Pada gambar (a) di bawah ini menunjukkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menggambarkan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan. Gambar (b) menunjukkan garis asimtot horizontal pada y = –2, yang menggambarkan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan.

C. Pengertian Fungsi Irasional dan Penyelesaiannya

(









.

Grafik fungsi irasional dapat dilukis ( dengan skets ) dengan menentukan domain dan range fungsi, menentukan koordinat titik potong kurva dengan sumbu x, dan sumbu y jika ada, dan mentabulasi berapa harga x dan y sehingga koordinat titik yang memenuhi persamaan fungsi. Titik – titik dengan koordinat diatas diplot pada bidang, sehingga grafik fungsi diperoleh.

Contoh:

Buatlah skets grafik fungsi irrasional yang dinyatakan dengan persamaan y =

√

x+9−5

Domain dan Range

Domain (Daerah asal) adalah himpunan semua bilangan real x yang membuat fungsi f terdefinisi (f anggota himpunan bilangan real).

Df = {x : x∈R}

(Sinaga dkk., 2017)

Range (Daerah hasil) adalah himpunan semua bilangan real y yang terdefinisi dengan anggota himpunan bilangan real x.

Rf = {y : y∈R}

Contoh soal

Tentukan domain dan range dari fungsi berikut !

Menggambar Sketsa Grafik Fungsi

Menggambar sketsa grafik suatu fungsi didahui dengan menemukan bentuk persamaan apakah linear, kuadrat, atau rasional. Ciri dari fungsi linear memiliki variabel bebas berpangkat tertinggi satu. Ciri dari fungsi kuadrat memiliki variabel bebas berpangkat tertinggi dua.

Ciri dari fungsi rasional adalah berbentuk rasio atau perbandingan. Kemudian buatlah tabel yang berisi titik yang dilalui grafik. dari suatu fungsi. Selanjutnya hubungkan titik-titik sehingga menjadi grafik.

Contoh soal

Gambarkan sektsa grafik fungsi dari f(x) = x2 +2 !

Penyelesaian:

f(x) = x2 +2 adalah persamaan kuadrat karena x berpangkat dua.

a = 1 > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.

Titik balik berada pada (0, 2)

x = -b/2a = -(0)/2(1) = 0

y = x2 +2 = (0)2 +2 = 2

Buatlah tabel

X	f(x) = y	(x, y)
3	11	(3, 11)
2	6	(2, 6)
1	3	(1, 3)
0	2	(0, 2)
-1	3	(-1, 3)
-2	6	(-2, 6)
-3	11	(-3, 11)

 

Gambarlah sketsa grafik fungsi dari titik-titik pada tabel !

DAFTAR PUSTAKA

https://rumuspintar.com/fungsi-kuadrat/

https://www.yuksinau.id/fungsi-rasional/

https://123dok.com/title/makalah-persamaan-dan-fungsi-irrasional