LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

 

LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

Luas Segi-n Beraturan

Definisi

Pada dasarnya luas segi-n beraturan terbentuk dari lingkaran yang dibagi-bagi menjadi beberapa bagian sama besar (berbentuk segitiga sama kaki), sehingga untuk menghitung luas dan kelilingnya akan melibatkan sudut pusat dan jari-jarinya. Sudut pusatnya adalah sudut pada segitiga dengan besar 360o/n yang ditunjukkan oleh sudut berwarna merah. Sementara sisi dari bangun datar segi-n ditunjukkan oleh huruf x.

Cara Menghitung Luas dan Keliling

Dalam menghitung luas dan keliling bangun datar segi-n beraturan, kita melibatkan rumus luas segitiga yang melibatkan sudut yaitu lebih tepatnya luas segitiga menggunakan sinus dan untuk menghitung kelilingnya kita menggunakan konsep aturan kosinus. 

Luas segi-n beraturan

Luas dengan sinus

Contohnya segitiga PRQ pada segienam diatas

Luas segitiga = 1/2 . r . r . sin θ

                        = 1/2 r² 360o/n

Luas bangun datar segi-n beraturan

Luas segi-n = n . luas segitiga

                      = n/2 r² sin 360o/n

                    

Keliling segi-n beraturan

Aturan sinus dalam menentukan panjang sisi segi-n (x)

Pada segitiga PRQ, panjang x :

x² = r² + r² - 2 . r . r . cos θ

x = √2r² - 2r² cos 360o/n

   = r √2 - 2 cos 360o/n

Keliling bangun datar segi-n beraturan

Keliling = n . x

               = nr √2 - 2 cos 360o/n

*θ = sudut pusat = 360o/n

Contoh Soal 

Diketahui sebuah segienam beraturan dengan jari-jari 10 cm, tentukan luas dan kelilingnya.

Penyelesaian

Diket : r = 10

             n = 6 (karena segienam)

a.) Luas

Luas segienam = n/2 r² sin 360o/n

                            = 6/2 10² sin 360o/6

                            = 300 sin 60o 

                            = 300 . 1/2 √3

                            = 150 √3

b.) Keliling

Keliling segienam = nr √2 - 2 cos 360o/n

                                 = 6.10 √2 - 2 cos 360o/6

                                 = 60 √2 - 2 cos 60o

                                 = 60 √2 - 2 . 1/2

                                 = 60 √2 - 1

                                 = 60 √1

                                   = 60 

Jadi, luas segienam tersebut adalah 150√3 dan keliling segienam 60

Rumus Jari-Jari Lingkaran Luar dan Dalam Segitiga

Lingkaran Dalam Segitiga

Sebuah lingkaran dapat dibuat dalam sebuah segitiga. Caranya, buatlah garis bagi simetris dari masing-masing segitiga. Garis bagi adalah garis yang membagi sudut segitiga tersebut sama besar. Dari titik perpotongan ketiga garis bagi tersebut dapat dibuat sebuah lingkaran. Titik potong ketiga garis bagiakan menjadi pusat lingkaran dan kelilingnya akan tepat menyinggung masing-masing sisi segitiga.

Jari-jari lingkaran dalam

Dari gambar segitiga diatas, jari-jari lingkaran yang akan kita cari adalah OE = OF = OD. Ketiganya sama dengan tinggi dari segitiga 1, 2 dan 3.

Luas Segitiga Besar = Luas ΔI + Luas ΔII + Luas ΔIII

                                    = 1/2 (AB x OD) + 1/2 ( CB x OE) + 1/2 (AC x OF)

——————-             = 1/2 (AB x r) + 1/2 (CB x r) + 1/2 (AC x r)

——————-             = 1/2 r (AB + CB + C)

——————-             = 1/2 . r . keliling segitiga 

——————-             = r . s (setengah keliling segitiga dilambangkan dengan s)

Jadi jari-jari lingkaran dapat dicari dengan membagi luas dengan 1/2 kelilingnya. Lalu bagaimana cara mencari luasnya? Karena segitiga diatas segitiga sembarang, maka bisa digunakan rumus berikut

Jadi, rumus jari-jari lingkaran 

Rumus di atas tergantung jenis segitiga. Kalau segitiga siku-siku akan lebih enak mencari luasnya dengan rumus 1/2 alas kali tinggi daripada menggunakan s.

Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang dibentuk dari perpanjangan garis bagi tiga sisi segitiga dan kelilingnya akan tepat menyinggung tiga titik sudut segitiga yang ada di dalamnya.

Pada gambar diatas, terdapat sebuah segitiga ABC dengan dengan sisi a, b, dan c. Ada lingkaran luar yang berpusat di titik O yang mengitari segitiga tersebut. OA, OB, OC. dan OD masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar yang akan kita cari rumusnya. Untuk membantu menemukan rumus jari-jari, kita memakai garis bantu yaitu garis tinggi segitiga CT dan garis diameter yang ditarik dari titik C (garis CD).

Coba perhatikan ΔCAD dengan ΔCTB

∠CAD = ∠CTB = 90o (ingat sifat sudut keliling yang menghadap diameter sama dengan 90º)

∠ADC = ∠TBC (ingat bahwa dua sudut keliling yang menghadap busur lingkaran yang sama adalah sama besar)

Karena ada dua pasang sudut yang sama maka bisa disimpulkan bahwa ΔCAD dan ΔCTB sebagun (kongruen). Karena sebangun maka perbandingan sisi-sisinya akan sama.

BC/CD = CT/AC
CD (diameter) = BC x AC / CT
CD (diameter) = a x b / CT……. (persamaan 1)

Nilai CT bisa kita cari dengan persamaan Luas

Luas ΔABC = 1/2 AB x CT
2 Luas ΔABC = AB x CT
CT = 2 Luas ΔABC / AB
CT = 2L/ c……..(persamaan 2)

Kita masukkan persamaan 2 ke persamaan 1

CD = a x b / CT
CD = a x b / (2L/c)
CD = a x b x c / 2L

Jari-jari = 1/2 CD
r = 1/2 CD = a x b x c / 4L

a,b,dan c = sisi-sisi segitiga
L = luas segitiga

Contoh soal

1. Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 23 cm, 27, dan 32 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut!

Penyelesaian:

Misalkan

a = 23 cm

b = 27 cm

c = 32 cm

s = ½ keliling segitiga

s = ½ (a + b + c)

s = ½ (23 + 27 + 32)

s = 41 cm

LΔ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

LΔ = √(41(41-23)(41-27)(41-32))

LΔ = √(41(18)(14)(9))

LΔ = √92988

LΔ = 304,94 cm2

r = (a × b × c)/ (4 × LΔ)

r = (23 × 27 × 32)/ (4 × 304,94)

r = 19872/1219,76

r = 16,3 cm

2. Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 12, dan 16 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga, keliling lingkaran luar segitiga, dan luas lingkaran luar segitiga

Penyelesaian:

Misalkan

a = 8

b = 12

c = 16

s = ½ keliling segitiga

s = ½ (a + b + c)

s = ½ (8 + 12 + 16)

s = 18 cm

LΔ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

LΔ = √(18(18-8)(18-12)(18-16))

LΔ = √(18(10)(6)(2))

LΔ = √2160

LΔ = 46,48 cm2

r = (a × b × c)/ (4 × LΔ)

r = (8 × 12 × 16)/ (4 × 46,48)

r = 1536/185,92

r = 8,26 cm

Untuk mencari keliling lingkaran kita gunakan rumus keliling lingkaran yaitu:

K = 2πr

K = 2 x 3,14 x 8,26 cm

K = 51,87 cm

Untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:

L = πr2

L = 3,14 x (8,26 cm)2

L = 214,23 cm2

3. Perhatikan gambar di bawah ini!

Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 17, dan 19 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga dan luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:

Misalkan

a = 6

b = 17

c = 19

s = ½ keliling segitiga

s = ½ (a + b + c)

s = ½ (6 + 17 + 19)

s = 21 cm

LΔ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

LΔ = √(21(21-6)(21-17)(21-19))

LΔ = √(21(15)(4)(2))

LΔ = √2520

LΔ = 50,20 cm2

r = (a × b × c)/ (4 × LΔ)

r = (6 × 17 × 19)/ (4 × 50,2)

r = 1938/200,8

r = 9,65 cm

Untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:

LΘ = πr2

LΘ = 3,14 x (9,65 cm)2

LΘ = 292,40 cm2

Untuk mencari luas mencari luas yang diarsir yaitu:

L = LΘ - LΔ

L = 292,40 cm2 - 50,20 cm2

L = 242,20 cm2

Garis Singgung Persekutuan Luar/Dalam Segitiga

Garis Singgung Persekutuan Luar Segitiga

Pengertian

Diketahui lingkaran besar A dengan panjang jari-jari R dan lingkaran kecil B dengan panjang jari-jari r. Garis PQ merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran A dan lingkaran B dengan panjang PQ = m, sehingga garis AP dan garis BQ tegak lurus terhadap garis PQ (garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran di titik singgung). Garis AB adalah garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran A dengan titik pusat lingkaran B, sehingga AB = d merupakan jarak pusat kedua lingkaran. Garis QT sejajar dan sama panjang denga garis AB, sehingga AB = QT = d. Garis BQ sejajar dan sama panjang dengan garis AT, sehingga AT = BQ = r sehingga PT = R - r.

Rumus

Segitiga PQT merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di titik P, dan QT merupakan sisi miring sehingga berlaku rumus Pythagoras:

$Q{T}^2=P{Q}^2+P{T}^2$
Karena QT = AB = d, PQ = m, dan PT = R - r, maka:
$A{B}^2=P{Q}^2+(R-r{)}^2$
$P{Q}^2=A{B}^2-(R-r{)}^2$
$m^2=d^2-(R-r{)}^2$
$m=\sqrt{d^2-(R-r{)}^2}$

m = PQ adalah panjang garis singgung persekutuan luar.
d = AB adalah jarak titik pusat kedua lingkaran.
R adalah panjang jari-jari lingkaran besar.
r adalah panjang jari-jari lingkaran kecil.
R > r.

Perlu diingat, bahwa PQ = m, (R - r), dan AB = d merupakan sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku dimana AB merupakan sisi miring dan PQ dan (R - r) merupakan sisi siku-siku.

Contoh soal

1. Diketahui dua lingkaran dengan pusat P dan Q, jarak PQ = 26 cm, panjang jari-jari lingkaran masing-masing 12 cm dan 2 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah . . . .

A. 16 cm
B. 24 cm
C. 28 cm
D. 30 cm

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

d = PQ = 26 cm → Jarak kedua pusat lingkaran.
R = 12 cm → Jari-jari lingkaran besar.
r = 2 cm → Jari-jari lingkaran kecil.

$\begin{array}{cc}{m}^2& =d^2-(R-r{)}^2\\ & ={26}^2-(12-2{)}^2\\ & ={26}^2-{10}^2\\ & =676-100\\ & =576\\ m& =\sqrt{576}\\ & =24cm\end{array}$

Cara cepat:
Seperti telah dibicarakan di atas bahwa d, m, dan (R - r) merupakan panjang sisi-sisi dari sebuah segitiga siku-siku. Dari soal diketahui d = 26 cm dan (R - r) = 10 cm, dengan demikian m = 24 cm. Ingat, angka 10, 24, dan 26 merupakan tripel Pythagoras.

2. Diketahui dua lingkaran berjari-jari masing-masing 12 cm dan 5 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 24 cm, maka jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah . . . .

A. 36 cm
B. 30 cm
C. 25 cm
D. 17 cm

Pembahasan:
R = 12 cm → Jari-jari lingkaran besar.
r = 5 cm → Jari-jari lingkaran kecil.
m = 24 cm → Panjang garis singgung persekutuan luar.

$m^2=d^2-(R-r{)}^2$
$\begin{array}{cc}{d}^2& =m^2+(R-r{)}^2\\ & ={24}^2+(12-5{)}^2\\ & ={24}^2+7^2\\ & =576+49\\ & =625\\ d& =\sqrt{625}\\ & =25cm\end{array}$

Cara cepat:
Karena m, (R - r), dan d merupakan panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku, dengan pemahaman tentang triple Pythagoras kita bisa melihat apakah panjang sisi-sisi segitiga merupakan tripel Pythagoras atau tidak. Diketahui m = 24, (R - r) = 7, dengan demikian d = 25. Ingat, angka 7, 24, dan 25 merupakan tripel Pythagoras.

3. Panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran yang berpusat di P dan Q 24 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran kecil 4 cm dan jarak titik pusat kedua lingkaran 25 cm, maka panjang jari-jari lingkaran lainnya adalah . . . .

A. 7 cm
B. 10 cm
C. 11 cm
D. 12 cm

Pembahasan:
m = 24 cm
r = 4 cm
d = 25 cm

$m^2=d^2-(R-r{)}^2$
$\begin{array}{cc}(R-r{)}^2& =d^2-m^2\\ (R-4{)}^2& ={25}^2-{24}^2\\ & =625-576\\ & =49\\ (R-4)& =\sqrt{49}\\ R-4& =7\\ R& =7+4\\ & =11cm\end{array}$

Cara cepat:
d = 25 cm, m = 24 cm, dengan demikian (R - r) = 7 cm. Hal ini terjadi karena 7, 24, dan 25 merupakan tripel Pythagoras.
R - r = 7
R - 4 = 7
R = 7 + 4
R = 11 cm.

Garis Singgung Persekutuan Dalam Segitiga

Pengertian

Lingkaran besar A panjang jari-jari R dan lingkaran kecil B panjang jari-jari r. Garis AP dan garis BQ tegak lurus terhadap garis PQ, sehingga garis PQ menyinggung kedua lingkaran (jari-jari selalu tegak lurus garis singgung di titik singgung). Dengan demikian garis PQ merupakan Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD) lingkaran A dan lingkaran B. Jarak antara pusat lingkaran besar A dengan pusat lingkaran kecil B adalah AB = d. Panjang garis PT sama dengan panjang garis BQ dan garis PT sejajar garis BQ, sehingga PT = BQ = r. Garis PQ sejajar dan sama panjang dengan garis BT, sehingga PQ = BT = m.

Rumus

Segitiga ABT merupakan segitiga siku-siku dan siku-siku di T, sehingga berlaku rumus Pythagoras:

$A{B}^2=A{T}^2+B{T}^2$
$B{T}^2=A{B}^2-A{T}^2$
Karena panjang garis BT sama dengan panjang garis PQ, mka:
$P{Q}^2=A{B}^2-A{T}^2$

Perhatikan gambar!
$\begin{array}{cc}AT& =AP+PT\\ & =R+r\\ AB& =d\\ PQ& =m\end{array}$
Sehingga:
$m^2=d^2-(R+r{)}^2$
$m=\sqrt{d^2-(R+r{)}^2}$

m = PQ adalah panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran.
d = AB adalah jarak pusat lingkaran besar dengan pusat lingkaran kecil.
R adalah jari-jari lingkaran besar.
r adalah jari jari lingkaran kecil.
R > r.

Contoh Soal

1. Dua buah lingkaran berjari-jari masing-masing 2 cm dan 7 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran 15 cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah . . . . cm.
A. 12
B. 10
C. 9
D. 8

Pembahasan:
$d=AB=15$ → Jarak pusat kedua lingkaran.
$R=7$ → Jari-jari lingkaran besar.
$r=2$ → Jari-jari lingkaran kecil.

$\begin{array}{cc}m& =\sqrt{d^2-(R+r{)}^2}\\ & =\sqrt{{15}^2-(7+2{)}^2}\\ & =\sqrt{{15}^2-9^2}\\ & =\sqrt{225-81}\\ & =\sqrt{144}\\ & =12\end{array}$

Cara cepat:
Karena d, m, dan (R + r) membentuk segitiga siku-siku, kita bisa memperhatikan sisi-sisi segitiga apakah merupakan tripel Pythagoras atau tidak. Dari soal diketahui d = AB = 15 cm (sisi miring atau sisi terpanjang), (R + r) = 2 + 7 = 9 cm (salah satu sisi siku-siku). Dengan begitu kita bisa tahu bahwa m = PQ (sisi siku-siku yang lain) adalah 12 cm, karena angka 9, 12, dan 15 merupakan tripel Phytagoras.


2. Perhatikan gambar berikut! Jika panjang PQ = 20 cm, maka jarak antara pusat lingkaran A dengan pusat lingkaran B adalah . . . . cm.

A. 20
B. 25
C. 27
D. 30

Pembahasan:
$R=9cm$ → Jari-jari lingkaran besar.
$r=6cm$ → Jari-jari lingkaran kecil.
$m=PQ=20cm$ → Panjang garis persekutuan dalam.

$m^2=d^2-(R+r{)}^2$
$\begin{array}{cc}{d}^2& =m^2+(R+r{)}^2\\ & ={20}^2+(9+6{)}^2\\ & ={20}^2+{15}^2\\ & =400+225\\ & =625\\ d& =\sqrt{625}\\ & =25cm\end{array}$

Cara cepat:
(R + r), m, dan d merupakan sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku. (R + r) = 9 + 6 = 15 cm (salah satu sisi siku-siku), m = PQ = 20 cm (salah satu sisi siku-siku), dengan mudah kita bisa tahu bahwa panjang d = AB (sisi miring atau sisi terpanjang) adalah 25 cm, karena angka 15, 20, dan 25 merupakan tripel Pythagoras.


3. Diketahui jarak dua pusat lingkaran adalah 34 cm, dan panjang jari-jari lingkaran A sama dengan dua kali panjang jari-jari lingkaran B. Jika panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 16 cm, maka selisih panjang jari-jari kedua lingkaran tersebut adalah . . . . cm.
A. 10
B. 12
C. 13
D. 15

Pembahasan:
$d=AB=34cm$ → Jarak pusat kedua lingkaran.
$R=2r$
$m=16cm$ → Panjang garis singgung persekutuan dalam.

$m^2=d^2-(R+r{)}^2$
${16}^2={34}^2-(2r+r{)}^2$
$256=1156-(3r{)}^2$
$(3r{)}^2=1156-256$
$9r^2=900$$r^2=100$
$r=\sqrt{100}$
$r=10$

$R=2r=2.10=20$
$\begin{array}{cc}Selisih& =R-r\\ & =20-10\\ & =10cm\end{array}$

Cara cepat:

d = AB = 34 cm (sisi miring atau sisi terpanjang), m = PQ = 16 cm (salah satu sisi siku-siku), dengan demikian panjang (R + r) adalah 30 cm, karena angka 16, 30, dan 34 merupakan tripel Phytagoras.
R + r = 30
2r + r = 30
3r = 30
r = 10 cm
R = 2r = 2.10 = 20 cm.
Selisih = R - r = 20 -10 = 10 cm.

DAFTAR PUSTAKA

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqPr59ZMyLblnA6sE7ZGmW6L_ke_XviP69IIEOvpLgStzi-qvABeuKOsTAlbUuh4EugG9SM-Cw-bwSdvDcYlctB2KV-XtDsrANX8UpZgGf7w76izFSvTqVfQ408KsoOQJzc4MUUh5330g/s1600/gambar_1_ilustrasi_luas_dan_keliling_bangun_datar_segi-n_beraturan_koma.png

https://www.konsep-matematika.com/2017/06/luas-dan-keliling-bangun-datar-segi-n-beraturan.html

https://rumushitung.com/2014/12/22/rumus-jari-jari-lingkaran-dalam-dan-lingkaran-luar-segitiga/

https://mafia.mafiaol.com/2014/02/soal-jari-jari-lingkaran-luar.html

https://www.maretong.com/2019/12/garis-singgung-persekutuan-luar-gspl.html